1、函数\(y=f(x)\)的奇偶性
①\(y=f(x)\)为奇函数，则满足\(f(-x)+f(x)=0\)，即关于点\((0，0)\)对称；
②\(y=f(x)\)为偶函数，则满足\(f(-x)-f(x)=0\)，即关于直线\(x=0\)对称；
③奇偶性的推广即为对称性，
比如函数满足\(f(x)+f(2-x)=4\)，则函数\(y=f(x)\)关于点\((1，2)\)对称； 函数满足\(f(x)-f(2-x)=0\)，则函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=1\)对称；
2、函数\(y=f(x+1)\)的奇偶性
比如函数\(f(x+1)\)为奇函数，则应该满足\(f(-x+1)=-f(x+1)\)，而不是\(f(-x-1)=-f(x+1)\)；
理解这句话要注意：
①、可以用特例验证，比如\(f(x+1)=x^3\)，则用代换法得到\(f(x)=(x-1)^3\)，则\(f(-x+1)=-x^3\)，\(f(x+1)=x^3\)，故满足\(f(-x+1)=-f(x+1)\)，而\(f(-x-1)=(-x-2)^2=-(x+2)^3\)，故不满足\(f(-x-1)=-f(x+1)\)；
②比如\(f(x+1)=x^3\)，则用代换法得到\(f(x)=(x-1)^3\)，很显然函数\(f(x+1)=x^3\)的对称中心是\((0，0)\)，而函数\(f(x)=(x-1)^3\)的对称中心是\((1，0)\)；可以用图像变换来理解，函数\(f(x+1)\)的对称中心是\((0，0)\)，将它向右平移一个单位得到\(f(x)\)，故函数\(f(x)\)的对称中心是\((1，0)\)；
③、函数的奇偶性变换针对的是单独的自变量\(x\)，而不是\(x+1\)这个整体；
④、我们其实可以用函数\(y=f(x+1)\)的奇偶性推出函数\(f(x)\)的对称性：
比如函数\(f(x+1)\)为奇函数，则应该满足\(f(-x+1)=-f(x+1)\)，即\(f(-x+1)+f(x+1)=0\)，由于\(\cfrac{(-x+1)+(x+1)}{2}=1，\cfrac{y_1+y_2}{2}=\cfrac{f(-x+1)+f(x+1)}{2}=0\)，这样我们就能得到函数\(f(x)\)的对称中心是\((1，0)\)；当然由此我们还可以写出表达式\(f(x)+f(2-x)=0\)，或者\(f(\cfrac{1}{2}+x)+f(\cfrac{3}{2}-x)=0\)；这些表达式之间都是可以相互转化的，也就是实质是一样的。
再比如函数\(f(x+1)\)为偶函数，则应该满足\(f(-x+1)=f(x+1)\)，这样我们就能得到函数\(f(x)\)的对称轴是直线\(x=1\)；当然由此我们还可以写出表达式\(f(x)=f(2-x)\)，或者\(f(\cfrac{1}{2}+x)=f(\cfrac{3}{2}-x)\)；这些表达式之间都是可以相互转化的，也就是实质是一样的。
3、函数\(y=f(x-1)\)的奇偶性
同上理解即可。
